Question
An op-amp differential amplifier is built using four identical resistors, each having a tolerance of ±5%. Calculate the worst possible CMRR.
Answer
考虑 $CMRR$ 的倍数定义：
$$ CMRR = \frac{A_d}{A_c} $$
为了求解该问题，我们可以先求出电路的共模增益 $A_c$ 及差模增益 $A_d$，然后计算电路的 $CMRR$．
为了求出 $A_c$ 及 $A_d$，就要找出运放的输入输出关系，对于具有差分输入端 $u_+$ 及 $u_-$ 的理想运算放大器，设其开环电压增益为 $A_{uo}$ ，则其输入输出满足：
$$ U_o = A_{uo}(U_+ - U_-) $$
利用分压定律很容易得到：
$$ \begin{aligned} U_+ &= \frac{R_2}{R_1 + R_2}U_{i+} \\ U_- &= \frac{R_4}{R_3 + R_4}U_{i-} + \frac{R_3}{R_3 + R_4}U_o \\ \end{aligned} $$
带入并化简得：
$$ \begin{aligned} U_o &= A_{uo} (\frac{R_2}{R_1 + R_2}U_{i+} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}U_{i-} - \frac{R_3}{R_3 + R_4}U_o) \\ U_o + A_{uo}\frac{R_3}{R_3 + R_4}U_o &= A_{uo}(\frac{R_2}{R_1 + R_2}U_{i+} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}U_{i-})\\ U_o &= \frac{A_{uo} (\frac{R_2}{R_1 + R_2}U_{i+} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}U_{i-})}{1 + A_{uo}\frac{R_3}{R_3 + R_4}} \\ U_o &= \frac{\frac{R_2}{R_1 + R_2}U_{i+} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}U_{i-}}{\frac{1}{A_{uo}} + \frac{R_3}{R_3 + R_4}} \\ \end{aligned} $$
显然，对于理想运放，其开环增益是无穷大的，那么有：
$$ \begin{aligned} \lim\limits_{A_{uo} \to +\infty} U_o &= \frac{\frac{R_2}{R_1 + R_2}U_{i+} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}U_{i-}}{\frac{R_3}{R_3 + R_4}} \\ &= \frac{\frac{(R_3 + R_4)R_2}{R_1 + R_2}U_{i+} - R_4U_{i-}}{R_3} \\ &= \frac{(R_3 + R_4)R_2}{(R_1 + R_2)R_3}U_{i+} - \frac{R_4}{R_3} U_{i-} \end{aligned} $$
接下来，我们的目标是求解运放的共模增益 $A_c$ 及差模增益 $A_d$，假设输入信号为共模信号（即直流信号），不妨设：
$$ U_{i+} = U_{i-} = U_i $$
显然有：
$$ A_c = \frac{U_o}{U_i} = \frac{(R_3 + R_4)R_2}{(R_1 + R_2)R_3} - \frac{R_4}{R_3} $$
假设输入信号为差模信号（即不含直流分量的交流信号），不妨设：
$$ \begin{aligned} U_{i-} &= -0.5U_i \\ U_{i+} &= +0.5U_i \end{aligned} $$
自然有：
$$ A_d = \frac{U_o}{U_i} = -\frac{1}{2}\frac{R_4}{R_3}-\frac{(R_3 + R_4)R_2}{2(R_1 + R_2)R_3} $$
回到定义：
$$ \begin{aligned} CMRR &= \frac{A_d}{A_c} \\ &= \frac{1}{2} \frac{\frac{R_4}{R_3}+\frac{(R_3 + R_4)R_2}{(R_1 + R_2)R_3}}{\frac{R_4}{R_3} - \frac{(R_3 + R_4)R_2}{(R_1 + R_2)R_3}} \\ &= \frac{1}{2} \frac{1 + \frac{(R_3 + R_4)R_2}{(R_1 + R_2)R_4}}{1 - \frac{(R_3 + R_4)R_2}{(R_1 + R_2)R_4}} \end{aligned} $$
问题转化为求 $CMRR$ 的最小值问题，不妨记：
$$ \begin{aligned} k &= \frac{(R_3 + R_4)R_2}{(R_1 + R_2)R_4} \\ &= \frac{(\frac{R_2R_3}{R_1R_4} + \frac{R_2}{R_1})}{1 + \frac{R_2}{R_1}} \\ &= \frac{\frac{R_3}{R_4} + 1}{\frac{R_1}{R_2} + 1} \end{aligned} $$
那么有：
$$ CMRR = \frac{k + 1}{2 - 2k} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{ 1 - k } $$
只需求 $k$ 最小值，显然，当 $R_1$ 和 $R_4$ 取最大值 $1.05R$，且 $R_2$ 和 $R_3$ 取最小值 $0.95R$ 时得最值，即得：
$$ CMRR = 10 $$